Les postulats d'Euclide sont les piliers fondamentaux de la géométrie classique et constituent la base de ce que nous appelons la géométrie euclidienne.
Ces postulats, présentés il y a plus de 2 300 ans, sont un ensemble d'énoncés si simples et évidents qu'Euclide les considérait comme des vérités incontestables sur lesquelles des théorèmes pouvaient être construits et des propriétés plus complexes démontrées.
Contexte historique
Euclide était un mathématicien grec qui vivait à Alexandrie vers le 3ème siècle avant JC. À son époque, Alexandrie était un centre culturel et intellectuel important. Euclide a rassemblé et organisé les connaissances géométriques existantes dans son chef-d'œuvre, "Les éléments" , un livre qui a eu une immense influence tout au long de l'histoire.
Dans ce livre, Euclide a non seulement rassemblé des théorèmes et des preuves, mais a également établi une méthode axiomatique qui est devenue la norme de rigueur mathématique pendant des siècles.
Les postulats d'Euclide sont à la base de ce système axiomatique. L’idée était simple : si l’on part de quelques vérités fondamentales et évidentes, nous pouvons construire tout un édifice mathématique par la déduction logique.
Les cinq postulats d'Euclide
Les postulats d'Euclide sont des énoncés qui décrivent des relations fondamentales sur un plan géométrique. Analysons-les un par un.
1. Postulat de ligne droite
Étant donné deux points quelconques, une ligne droite peut être tracée les joignant.
Ce postulat établit qu’entre deux points il existe une seule ligne droite. C'est une affirmation intuitive, car en observant deux points sur papier ou dans la réalité, on peut toujours imaginer une ligne qui les relie. Ce postulat implique également que les lignes droites ont une longueur infinie.
2. Postulat de l'extension de la droite
Une ligne droite peut s’étendre indéfiniment dans les deux sens.
Ici, Euclide nous dit que les lignes droites n’ont pas de fin. On peut les prolonger autant qu'on veut dans les deux sens. Bien qu’en pratique on travaille avec des segments de droite finis, ce postulat est essentiel pour développer des concepts plus avancés, comme le parallélisme et la perpendiculaire.
3. Postulat du cercle
Étant donné un point et une distance, un cercle peut être tracé avec ce point comme centre et la distance comme rayon.
Ce postulat introduit l’idée du cercle, figure fondamentale de la géométrie. L’affirmation semble évidente car il suffit d’imaginer une boussole traçant un cercle sur une feuille de papier. Cependant, c'est plus qu'une description intuitive : elle affirme que nous pouvons toujours créer un cercle parfait si nous connaissons son centre et son rayon.
4. Postulat des angles droits
Tous les angles droits sont égaux les uns aux autres.
Cette affirmation peut paraître triviale, mais elle est d’une importance cruciale. Les angles droits (ceux de 90 degrés) sont une référence universelle en géométrie. En déclarant que tous les angles droits sont égaux, Euclide nous fournit une norme par laquelle les autres angles peuvent être comparés et mesurés.
5. Postulat parallèle
Si une droite qui coupe deux autres droites forme d'un même côté des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites, prolongées indéfiniment, se rejoignent de ce côté.
Il s’agit du postulat le plus complexe et le plus controversé des cinq. Essentiellement, il décrit le comportement des droites parallèles : si deux droites ne se rencontrent pas, les angles formés avec une troisième droite auront des propriétés spécifiques. Pendant des siècles, les mathématiciens ont tenté de prouver ce postulat à partir des quatre autres, sans succès. Finalement, cette recherche a conduit au développement de géométries non euclidiennes.
Importance des postulats
Les postulats d'Euclide sont importants non seulement par ce qu'ils disent, mais aussi par l'approche qu'ils représentent. Avant Euclide, de nombreuses idées mathématiques étaient présentées de manière désordonnée et sans fondement clair. En formulant ces postulats, Euclide a établi un modèle systématique qui garantissait que chaque théorème était construit sur des énoncés antérieurs, garantissant cohérence et rigueur.
La méthodologie axiomatique introduite par Euclide a influencé des domaines au-delà de la géométrie. En philosophie, par exemple, cela a inspiré des penseurs comme Aristote et Descartes à organiser leurs idées de la même manière. En mathématiques, cette approche a jeté les bases du développement de théories modernes, telles que le calcul et la théorie des ensembles.
Géométries non euclidiennes
Le cinquième postulat, également appelé postulat parallèle, a fait l’objet de nombreux débats. De nombreux mathématiciens pensaient que ce postulat était moins intuitif que les autres et tentaient de le déduire des quatre premiers. Cependant, leurs tentatives ont conduit à une découverte surprenante : il a été possible de développer des systèmes géométriques complètement différents en modifiant le cinquième postulat.
Cela a donné naissance à des géométries non euclidiennes, telles que la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique. En géométrie hyperbolique, par exemple, on suppose qu’une infinité de lignes parallèles passent par un point donné en dehors d’une ligne. En géométrie elliptique, il n’y a pas de lignes parallèles. Ces variations ont des applications dans la théorie de la relativité et dans la compréhension de la structure de l'univers.