La géométrie euclidienne, du nom du mathématicien grec Euclide, est un pilier fondamental du monde des mathématiques depuis sa conception vers 300 avant JC.
Il constitue un patrimoine à travers les siècles et est influencé par des personnes de diverses disciplines, de la physique à l'ingénierie.
La géométrie euclidienne est basée sur les « Éléments d'Euclide », un ouvrage composé de trois livres qui abordent divers aspects de la géométrie. Dans ces livres, Euclide présente une série de définitions, d'axiomes et de postulats qui servent à clarifier les propriétés de l'espace et des figures.
Les éléments distinctifs de la géométrie euclidienne sont accentués par la déduction logique, ou le résultat est dérivé de propositions précédentes.
Les cinq postulats fondamentaux
Les cinq postulats sont décrits ci-dessous :
Demande de ligne droite
« Cela ne vaut pas le nombre de points, il est possible de tracer une ligne qui convient au joignant. »
Ce postulat établit l'existence d'une connexion directe entre deux points par une ligne droite. C'est la base de la notion de connexion directe et de distance la plus courte entre deux points en géométrie euclidienne.
Postulat d'extension infinie
« Une dernière ligne peut durer indéfiniment dans les deux sens. »
Ce postulat suggère qu'il n'y a pas de limite à la longueur d'une ligne droite. Cela implique qu'une ligne droite peut s'étendre à l'infini dans les deux directions, sans trouver de fin.
postulat du cercle
« Il y a un centre et une rayure, il est possible de tracer un cercle. »
Ce postulat permet la construction de cercles de rayon et de centre quelconques. Un cercle est défini comme l'ensemble de points équidistants d'un point central.
Application parallèle
« Il y a une droite et un point extérieur dessus, il y a exactement une droite parallèle qui passe por le point extérieur. »
Ce postulat a fait l'objet de débats tout au long de l'histoire et est connu sous le nom de postulat parallèle d'Euclide. Cela a conduit au développement de géométries non euclidiennes, qui explorent les implications de la modification de ce postulat.
Postulat d'angle
« La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à deux angles droits (180 degrés). »
Ce postulat établit la relation entre les angles intérieurs d'un triangle et la mesure totale des angles. C'est essentiel pour la congruence et la similitude des triangles dans la géométrie euclidienne.
Applications pratiques
La géométrie euclidienne n'est pas seulement un ensemble de théorèmes abstraits, mais elle a également trouvé des applications pratiques dans divers domaines.
L'architecture, par exemple, utilise les principes géométriques euclidiens dans la conception des structures après l'Antiquité. L'ingénierie et la physique classique s'appuient également sur la géométrie euclidienne pour modéliser le monde physique avec précision.
Influence sur l'architecture
Les formes géométriques de base, comme les triangles et les cercles, servent de base à la conception de plans architecturaux, comme la pyramide de Khéops dans la coupole de la Basilique Saint-Pierre.
De plus, la trigonométrie euclidienne est appliquée pour calculer les distances et les angles, garantissant la précision de la construction. Le théorème de Pythagore a été essentiel pour garantir la stabilité structurelle dans la disposition des colonnes et des murs.
L'autre partie, la géométrie descriptive, dérivée d'Euclide, permet de représenter les projets dans les plans bidimensionnels, facilitant la communication visuelle dans la conception architecturale.
Développements ultérieurs
Malgré sa large applicabilité, la géométrie euclidienne a fait l'objet de critiques et de développements ultérieurs. A la fin du XIXe siècle, des mathématiciens tels que Nikolai Lobachevsky et János Bolyai ont exploré les géométries non euclidiennes, pour lesquelles le cinquième postulat d'Euclide n'était pas valide.
Cela a conduit à la formulation de la géométrie hyperbolique et à la découverte de l'existence de mondes mathématiques cohérents dans lesquels les angles d'un triangle peuvent totaliser moins ou plus deux angles droits.