La géométrie non euclidienne est un domaine d'étude mathématique qui remet en question et élargit les postulats établis par Euclide dans son ouvrage « Les Éléments ».
Contrairement à la géométrie euclidienne, qui repose sur cinq postulats fondamentaux, les géométries non euclidiennes naissent de la modification du cinquième postulat, connu sous le nom de postulat des parallèles.
Fondements de la géométrie euclidienne
La géométrie euclidienne repose sur cinq axiomes fondamentaux :
- Étant donné une paire de points, il existe un segment de droite qui les relie.
- Tout segment de droite peut être prolongé indéfiniment dans les deux directions.
- Étant donné un point et un rayon, un cercle peut être dessiné avec ce rayon.
- Tous les angles droits sont égaux entre eux.
- Étant donné un point extérieur à une ligne, il existe une et une seule ligne parallèle à la ligne donnée qui passe par ce point.
Les quatre premiers postulats sont intuitivement acceptables et constituent la base de la géométrie classique. Cependant, le cinquième postulat fait l’objet de débats depuis des siècles, car sa formulation n’est pas aussi évidente que les autres. De nombreux mathématiciens ont essayé de le prouver comme un théorème dérivé des quatre autres, mais sans succès.
Cela a conduit au développement de nouvelles géométries où ce postulat a été modifié ou remplacé.
Géométries non euclidiennes
Les deux principales géométries non euclidiennes sont la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique. Tous deux découlent du déni du cinquième postulat d’Euclide et présentent des caractéristiques qui remettent en cause l’intuition classique.
Géométrie hyperbolique
La géométrie hyperbolique, développée indépendamment par Nikolai Lobachevsky et János Bolyai au XIXe siècle, postule que par un point situé à l'extérieur d'une ligne donnée passent une infinité de lignes parallèles à la ligne d'origine. Certaines caractéristiques clés de cette géométrie incluent :
- Les angles d’un triangle totalisent moins de 180 degrés.
- Les lignes parallèles peuvent diverger dans les deux sens.
- Il n’y a pas de rectangles au sens euclidien.
- L'espace peut être modélisé sur une surface de courbure négative, comme le modèle du disque de Poincaré ou le modèle du demi-plan hyperbolique.
Cette géométrie a trouvé des applications dans la théorie de la relativité générale d'Einstein, car elle décrit le comportement de l'espace-temps en présence de masses gravitationnelles.
Géométrie elliptique
La géométrie elliptique, initiée par Bernhard Riemann au XIXe siècle, postule qu'il n'existe pas de lignes parallèles, puisque toutes les lignes finissent par se croiser. Cela peut être visualisé dans la géométrie d'une sphère, où les « lignes » sont de grands cercles (géodésiques) et n'importe quelle paire de ces lignes se croisent. Certaines propriétés comprennent :
- Les angles d’un triangle totalisent plus de 180 degrés.
- Les lignes droites sont finies mais n’ont pas de bords.
- Les rectangles n'existent pas.
Cette géométrie est pertinente en cosmologie, où elle est utilisée pour modéliser des univers à courbure positive.
Applications de la géométrie non euclidienne
La géométrie non euclidienne a eu un impact profond sur diverses disciplines scientifiques et technologiques :
- Physique : En relativité générale, l'espace-temps est modélisé par une géométrie à courbure variable, qui permet de décrire la gravitation dans un cadre géométrique.
- Navigation et cartographie : Les systèmes de coordonnées géodésiques sur Terre utilisent des concepts de la géométrie sphéroïdale, une forme de géométrie non euclidienne.
- Cryptographie et théorie des nombres : Certaines structures mathématiques qui apparaissent dans la géométrie hyperbolique sont appliquées dans les algorithmes cryptographiques.
- Art et Design : La représentation d’espaces non euclidiens a inspiré des artistes tels que MC Escher, dont le travail explore des motifs impossibles et des perspectives inhabituelles.
Modèles mathématiques
Il existe plusieurs modèles mathématiques qui nous permettent de visualiser et de travailler avec la géométrie non euclidienne :
- Modèle de disque de Poincaré : Représente la géométrie hyperbolique sur un disque unité où les lignes géodésiques sont des arcs de cercle orthogonaux au bord du disque.
- Modèle de demi-plan hyperbolique : utilise la moitié supérieure du plan cartésien, où les géodésiques sont des demi-cercles orthogonaux à l'axe horizontal.
- Géométrie sphéroïdale : Modélise la géométrie elliptique sur une sphère, où les grands cercles agissent comme des « lignes droites ».
Impact philosophique et mathématique
La découverte des géométries non euclidiennes a eu un impact significatif sur la philosophie et les mathématiques :
- Il a remis en question l’unicité de la vérité mathématique , montrant qu’il existe plusieurs systèmes géométriques également valables.
- Il a promu la recherche sur la cohérence des systèmes axiomatiques , conduisant aux travaux de Hilbert et de Gödel.
- Il a redéfini la perception de l’espace et de la réalité , influençant la physique moderne et la théorie de la relativité.