Menu

Électricité
Courant électrique

Loi de Gauss : description du théorème de Gauss

Loi de Gauss : description du théorème de Gauss

Le théorème de Gauss pour le champ électrique stipule que le flux d'un champ électrique à travers une surface fermée (surface gaussienne) est donné par le quotient entre la charge électrique totale à l'intérieur de la surface divisée par la constante diélectrique absolue du milieu (ε 0 ). Toute charge ponctuelle externe à la surface ne contribue en aucune façon au débit total.

L'équation de Gauss fait partie des quatre équations de Maxwell.

Le champ électrique produit par deux objets chargés statiquement peut être obtenu par deux procédures équivalentes : en appliquant la loi de Coulomb ou en utilisant la loi de Gauss. La loi de Coulomb est une manière plus simple et plus directe d'exprimer la force électrique. En revanche, la loi de Gauss est plus subtile, plus élégante et parfois plus utile. 

Le théorème de Gauss a une utilité très pratique. Dans sa formulation physique relative aux champs électriques, elle se traduit finalement en une formule simple, utilisable par tous et avec des implications pratiques très importantes.

Le flux de charges qui traversent la surface gaussienne est proportionnel au nombre de lignes de champ qui la traversent.

Énoncé du théorème de Gauss

Voici l'énoncé du théorème de Gauss pour le champ électrique : le flux d'un champ électrique à travers une surface fermée est donné par la relation entre la charge électrique totale à l'intérieur de la surface et la constante diélectrique absolue du milieu.

formule de la loi de Gauss

En regardant la formule du théorème de Gauss pour le champ électrique, nous pouvons écrire

Loi de Gauss : description du théorème de Gauss

La déclaration gaussienne fournit un moyen rapide et facile de calculer le flux de champ électrique à travers une surface fermée. Calculez simplement la somme algébrique de toutes les charges qui se trouvent à l'intérieur de la surface et divisez-la par la constante diélectrique absolue.

Il est important de souligner certains aspects :

  1. Si l'on pense au vide, on peut substituer la constante diélectrique absolue du milieu ε m  à la constante diélectrique du vide dont on connaît la valeur.

  2. Pour calculer la somme algébrique de toutes les charges internes, il est nécessaire de prendre en compte les signes des charges, qui peuvent être des charges positives ou négatives.

  3. La surface peut avoir n'importe quelle forme tant qu'elle est fermée.

  4. Ce qui compte, c'est la charge totale à l'intérieur de la surface. S'il y a d'autres charges situées hors de la surface, elles ne doivent pas être prises en compte pour le calcul du débit.

  5. Le théorème est valable pour tout type de champ électrique, pas nécessairement uniforme dans l'espace. La formule est également valable pour toute configuration de charge.

exemple de la loi de Gauss

Supposons que nous voulions calculer le champ électrique produit par une charge ponctuelle et utiliser la loi de Gauss pour le trouver.

Dans notre exemple imaginons une surface gaussienne sphérique de rayon r avec une charge (q) contenue en son centre. Pour calculer l'intégrale d'écoulement, nous supposerons qu'en raison de la symétrie du problème, E doit avoir la direction radiale vers l'extérieur de la charge (q). Cela implique que E est parallèle à dS en tout point de la surface d'attente.

Aussi par la symétrie nous devons supposer que E ne dépend que de la distance r de la charge q au point considéré, de sorte que E aura la même valeur pour tout point de la sphère, et sera constant dans l'intégration.

Dans ces conditions, le calcul de l'écoulement à travers la surface sphérique sera :

= E (4 · π · r²)

Puisque l'intégrale est simplement l'aire de la surface de la sphère. Puisque la charge totale contenue dans notre sphère est q, la loi de Gauss nous donne :

Loi de Gauss : description du théorème de Gauss

Auteur :

Date de publication : 22 novembre 2021
Dernier examen : 22 novembre 2021