Les circuits électriques sont un élément essentiel de notre vie moderne. Des appareils électroniques les plus simples aux systèmes électriques les plus complexes, tous dépendent de la compréhension et de l’analyse correctes des circuits électriques.
Au XIXe siècle, Gustav Kirchhoff, un physicien allemand, a formulé les lois qui portent son nom et qui sont devenues les fondements de base de l'analyse des circuits : les lois de Kirchhoff.
Loi de Kirchhoff sur le courant (loi des nœuds)
La loi du courant de Kirchhoff, également connue sous le nom de loi nodale, stipule qu'à tout nœud d'un circuit électrique, la somme algébrique des courants entrant et sortant de ce nœud est égale à zéro. En d’autres termes, le courant circulant dans un nœud est égal au courant circulant hors de ce même nœud.
Explication
Un nœud est un point de connexion entre deux ou plusieurs éléments d'un circuit. Étant donné que la charge électrique ne s’accumule pas au niveau d’un nœud (dans des conditions stables), la quantité de courant entrant doit être égale à la quantité sortante.
Mathématiquement, cela s'exprime comme :
\[ \somme I = 0 \]
Ou, en égalisant les courants entrant dans un nœud avec ceux sortant :
Si l'on considère un nœud avec plusieurs courants entrants \( I_1 \),\( I_2 \),\( I_3 \) et plusieurs courants sortants \( I_4 \), \( I_5 \), où les courants entrants sont pris comme positifs et les courants sortants comme négatifs, l'équation s'écrit ainsi :
\[ I_1+I_2 + I_3 − I_4−I_5=0 \]
le réarrangement:
\[ I_1+I_2 + I_3 = I_4 + I_5 \]
Cela signifie que la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants.
Exemple de calcul
Supposons un nœud avec trois flux :
- \( I_1 = 5A \) entrant
- \( I_2 = 3A \) entrée
- \( I_3 \) est un courant sortant mais nous ne connaissons pas sa valeur.
En appliquant la loi actuelle, nous pouvons connaître la valeur de \( I_3 \):
\[ I_1 + I_2 = I_3 \]
\[ 5A+3A=I3 \]
\[ I_3=8A \]
Cela indique que le courant sortant du nœud est de 8 ampères.
Loi de contrainte de Kirchhoff (loi de maillage)
La somme algébrique des différences de potentiel dans une boucle fermée est égale à zéro.
Explication mathématique
Une boucle est un chemin fermé dans un circuit. Étant donné que l’énergie électrique ne peut pas être créée ou détruite dans une boucle, l’énergie gagnée (par les sources de tension) doit être égale à l’énergie perdue (par les chutes de tension à travers les résistances et autres composants).
Mathématiquement, cela s'exprime comme :
\[ \somme V = 0 \]
Si dans une boucle nous avons une source de tension \( V_1 \) et plusieurs chutes de tension \( V_2 \), \( V_3 \), \( V_4 \), l'équation s'écrit ainsi :
le réarrangement:
Cela signifie que la somme des tensions fournies par les sources est égale à la somme des chutes de tension aux bornes des composants du circuit.
Exemple numérique
Supposons un circuit série avec :
- Une batterie de \( V_1 = 12V \)
- Une résistance avec une chute de tension \( V_2 = 5V \)
- Une autre résistance avec chute de tension \( V_3 = 7V \)
Application de la loi des tensions :
Cela confirme que la puissance fournie par la source 12V a été répartie entre les deux résistances.
Application des lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff s'appliquent à tout circuit électrique, qu'il soit à courant continu (CC) ou à courant alternatif (CA). Ces lois sont particulièrement utiles pour analyser des circuits complexes, où il existe plusieurs sources de courant et de tension, ainsi qu'une variété d'éléments tels que des résistances, des condensateurs et des inducteurs.
En appliquant les lois de Kirchhoff, il est possible d'établir un système d'équations qui peuvent être résolues pour déterminer les courants et les tensions dans chaque composant du circuit. Cela nous permet d'étudier le comportement global du circuit électrique et d'effectuer des calculs précis pour concevoir des circuits efficaces et fiables.
Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d’applications réelles :
1. Résoudre des circuits complexes
Les lois de Kirchhoff nous permettent d'analyser et de résoudre des circuits électriques contenant plusieurs composants, sources de courant et de tension et connexions complexes. En appliquant les lois de Kirchhoff, il est possible d'établir des équations qui relient les courants et les tensions dans chaque élément du circuit, ce qui permet de déterminer leur comportement et de calculer les valeurs de courant et de tension dans différentes parties du circuit.
2. Concevoir et optimiser les circuits
En utilisant les lois de Kirchhoff, les ingénieurs électriciens peuvent concevoir et optimiser des circuits pour répondre à des exigences spécifiques. Ces lois permettent de comprendre comment le courant et la tension sont distribués dans un circuit, aidant à identifier les points critiques, à calculer la résistance nécessaire et à assurer un flux de courant approprié.
3. Analyse des réseaux électriques
Les lois de Kirchhoff s'appliquent également à l'analyse de réseaux électriques plus grands, tels que les systèmes de distribution d'énergie ou les réseaux de transmission. Ces lois permettent d'évaluer et d'équilibrer le flux de courant dans les différentes branches du réseau, d'identifier d'éventuels problèmes de surcharge et de déterminer la meilleure configuration pour une distribution efficace de l'énergie électrique.
Exemples de lois de Kirchhoff
Voici quelques exemples qui illustrent l’application des lois de Kirchhoff :
Exemple 1 : Loi de Kirchhoff sur le courant (loi des nœuds)
Supposons que nous ayons un circuit avec trois résistances connectées en parallèle, alimentées par une source de courant. Nous voulons déterminer le courant dans chaque résistance.
Selon la loi du courant de Kirchhoff, la somme algébrique des courants entrant et sortant d'un nœud est égale à zéro. Dans ce cas, le nœud supérieur est pris comme référence et le courant total entrant dans ce nœud est I. On peut donc établir l'équation suivante :
Où \( I_1 \), \( I_2 \) et \( I_3 \) sont les courants dans chaque résistance. En résolvant cette équation, on peut trouver les valeurs des courants dans chaque résistance.
Exemple 2 : Loi de contrainte de Kirchhoff (loi de maillage)
Supposons que nous ayons un circuit avec trois résistances en série et une source de tension. Nous voulons déterminer la tension aux bornes de chaque résistance.
Selon la loi de tension de Kirchhoff, la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans toute boucle fermée du circuit est égale à zéro. Dans ce cas, nous pouvons établir deux équations en utilisant la loi du maillage :
-
Pour la boucle supérieure : \( V = V_1 + V_2 \)
-
Pour la boucle inférieure : \( V = -V_2 - V_3 \)
Où \( V_1 \), \( V_2 \) et \( V_3 \) sont les tensions aux bornes de chaque résistance. En résolvant ces équations simultanées, nous pouvons trouver les valeurs des tensions aux bornes de chaque résistance.
Exemple 3 : Loi de contrainte de Kirchhoff avec résistance
Considérons une boucle avec une source de tension et deux résistances :
- \( V_1 = 12V \)
- \(R_1 = 4 \, \Oméga \)
- \(R_2 = 2 \, \Oméga \)
- \(I = 2A \)
Calcul des chutes de tension
Loi des tensions
\[ 12−8−4=0 \]
La loi de contrainte de Kirchhoff est respectée.