Un polyèdre est une figure géométrique tridimensionnelle dont les surfaces sont formées par un ensemble fini de polygones, appelés faces , qui renferment un volume défini.
Ces solides sont des objets fondamentaux en géométrie et leur étude fascine les mathématiciens et les scientifiques depuis l’Antiquité en raison de la grande variété de formes et de propriétés qu’ils peuvent présenter.
Structure d'un polyèdre
Pour mieux comprendre la structure d'un polyèdre, il est utile de connaître la relation entre les éléments qui le composent :
- Faces : Ce sont les surfaces planes qui délimitent le polyèdre. Chacun est un polygone.
- Bords : Ce sont les segments qui forment le bord entre deux faces adjacentes.
- Sommets : Ce sont les points où trois arêtes ou plus se rencontrent.
En plus de ces caractéristiques fondamentales, les polyèdres peuvent varier considérablement en termes de symétries et de formes. Les symétries d'un polyèdre font référence à des transformations spatiales (telles que des rotations ou des réflexions) qui permettent au polyèdre de s'appliquer sur lui-même sans altérer sa structure.
Classification des polyèdres
La classification des polyèdres est un aspect clé de son étude. Selon leurs caractéristiques géométriques, les polyèdres sont regroupés en plusieurs catégories.
1. Selon la convexité
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Polyèdres convexes : Un polyèdre est convexe si une ligne droite le traversant coupe sa surface en deux points seulement. En d’autres termes, tous les points d’une ligne droite reliant deux points quelconques du polyèdre seront à l’intérieur du polyèdre. Un exemple courant est le cube, où toutes les faces sont carrées et chaque sommet forme des angles « saillants » ou convexes.
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Polyèdres concaves : En revanche, un polyèdre est concave si une ligne droite peut traverser sa surface en plus de deux points. Cela signifie que le polyèdre a une « fente » ou un angle dièdre entrant. Les polyèdres concaves peuvent avoir des formes très complexes et ne sont pas aussi courants que les polyèdres convexes dans la nature.
2. Selon la régularité des visages
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Polyèdres réguliers : Ces polyèdres possèdent une symétrie exceptionnelle. Ils se caractérisent par le fait que toutes leurs faces sont formées par des polygones réguliers (c'est-à-dire des polygones avec des côtés et des angles égaux) et que tous leurs sommets sont congrus. Dans les polyèdres réguliers, on retrouve le même nombre de faces à chaque sommet. Les cinq polyèdres réguliers, appelés solides platoniciens , sont :- Tétraèdre : Composé de quatre faces triangulaires.
- Cube (ou hexaèdre) : Composé de six faces carrées.
- Octaèdre : Il possède huit faces triangulaires.
- Dodécaèdre : Il se compose de douze faces pentagonales.
- Icosaèdre : Composé de vingt faces triangulaires.
Ces solides sont uniques par leur haut degré de symétrie et ont été étudiés depuis l'époque des Grecs anciens, notamment par Platon, qui leur a donné leur nom.
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Polyèdres irréguliers : Contrairement aux polyèdres réguliers, les polyèdres irréguliers ont des faces et des angles qui ne sont pas nécessairement congrus. Bien qu’ils ne présentent pas la symétrie parfaite des polyèdres réguliers, beaucoup d’entre eux sont importants en architecture et en ingénierie. Des exemples de polyèdres irréguliers comprennent les prismes et les antiprismes , ainsi que les solides d'Archimède , qui combinent des polygones réguliers dans diverses configurations pour former des polyèdres semi-réguliers.
3. Selon les uniformités géométriques
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Polyèdres à faces uniformes : Toutes les faces sont des polygones identiques, mais pas nécessairement réguliers. Ce type de polyèdre peut avoir différents degrés de symétrie, mais conserve la même forme sur toutes ses faces.
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Polyèdres à arêtes uniformes : Toutes les arêtes rejoignent la même paire de faces, ce qui donne une uniformité dans la disposition des faces le long des arêtes.
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Polyèdres à sommets uniformes : Dans ces polyèdres, tous les sommets convergent vers le même nombre de faces et dans le même ordre. Autrement dit, la disposition des faces autour de chaque sommet est la même dans tout le polyèdre.
Classement historique et solides notables
L’intérêt pour les polyèdres n’est pas récent. Tout au long de l’histoire, les mathématiciens et les philosophes ont étudié ces formes pour leur symétrie et leur beauté. En plus des solides platoniciens déjà mentionnés, d'autres types notables de polyèdres comprennent :
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Solides d'Archimède : Ce sont des polyèdres semi-réguliers qui ont plus d'un type de polygone comme face, mais conservent une disposition symétrique aux sommets. Parmi ceux-ci figurent le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.
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Solides de Kepler-Poinsot : Ces polyèdres étoilés sont des extensions des solides platoniciens, mais ils permettent des intersections de faces, ce qui leur confère une structure plus complexe et exotique.
Propriétés géométriques des polyèdres
Il existe plusieurs formules et théorèmes clés qui aident à mieux comprendre les propriétés géométriques des polyèdres.
1. La formule d'Euler
L'une des propriétés les plus fondamentales des polyèdres convexes est la formule d'Euler , qui stipule que pour tout polyèdre convexe avec des sommets « V », des arêtes « A » et des faces « C », la relation est valable :
V−A+C=2
Cette formule a été découverte par le mathématicien suisse Leonhard Euler et est valable pour tous les polyèdres convexes.
C'est un outil essentiel dans la topologie des polyèdres, car il nous aide à vérifier la cohérence structurelle de tout polyèdre.
2. Angles dièdres
L' angle dièdre est l'angle formé entre deux faces adjacentes d'un polyèdre. Dans les polyèdres réguliers, les angles dièdres sont congrus, tandis que dans les polyèdres irréguliers, les angles dièdres peuvent varier. La mesure de ces angles est importante pour déterminer la stabilité et la symétrie du polyèdre.
3. Volume et superficie
Le calcul du volume et de la surface d'un polyèdre dépend des formes géométriques de ses faces et de leur disposition spatiale. Dans le cas des polyèdres réguliers, il existe des formules spécifiques pour calculer ces grandeurs.
Dans les polyèdres plus complexes, tels que les solides d'Archimède, le calcul du volume et de la surface nécessite des formules plus avancées qui prennent en compte les dimensions et les types de faces.
Exemples quotidiens de polyèdres
- Pyramides : Les pyramides d'Egypte sont un exemple emblématique de polyèdres dans l'histoire. Ils ont une base carrée et quatre faces triangulaires.
- Cubes : Les objets du quotidien comme les boîtes et les dés sont des exemples de cubes qui ont six faces carrées.
- Ballons de football : Ils sont constitués d'une combinaison de pentagones et d'hexagones, créant une approximation d'un icosaèdre tronqué.
- Nids d'abeilles : Les abeilles construisent leurs nids d'abeilles à l'aide de formes hexagonales, qui sont regroupées en prismes hexagonaux pour maximiser l'utilisation de l'espace.