Une définition de polyèdre est une forme solide 3D limitée uniquement par un nombre fini de figures géométriques à face plate renfermant un volume fixe. Le mot polyèdre vient du grec classique πολύεδρον ( polyèdre ), avec « poly » signifiant plusieurs et « hédron » signifiant surface.
Voici les trois parties d'un polyèdre :
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Face : les surfaces planes qui composent un polyèdre. Ces faces sont des polygones.
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Bord : le segment de ligne partagé par deux surfaces planes.
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Sommet ou coin : C'est le point de rencontre des différents segments joignant du polyèdre.
En 1750, Leonhard Euler écrit son théorème des polyèdres. Le théorème indique la relation entre le nombre de faces, le nombre de sommets (points d'angle) et le nombre d'arêtes d'un polyèdre convexe.
De plus, la fameuse formule d'Euler exprime une constante non altérée en rotations, translations desdits polyèdres. Il conclut qu'il ne peut y avoir que cinq solides réguliers et établit plusieurs relations dans la proposition.
Dénomination des polyèdres
Les polyèdres sont nommés d'après leur nombre de faces. Sa désignation est basée sur le grec classique. Par exemple tétraèdre (4-faces), pentaèdre (5), hexaèdre (6), heptaèdre (7), ... icosaèdre (20) - icosa vaut 20 en grec classique -, etc.
Un polyèdre est souvent qualifié par une description du type de faces présentes sur celui-ci. Si toutes ses faces sont égales et que tous les angles polyédriques sont égaux, on les appelle un polyèdre régulier . Par exemple, le dodécaèdre régulier ou le dodécaèdre pentagonal versus le dodécaèdre rhombique .
D'autres dénominations courantes indiquent qu'une opération a été effectuée sur un polyèdre plus simple qui l'a transformé en l'actuel. Par exemple le cube tronqué , qui ressemble à un hexaèdre (cube) avec ses coins tronqués ou coupés. Il a donc 14 faces, et dans ce cas il n'est pas régulier puisque de ses faces, six ont la forme d'un octogone régulier et huit ont un triangle équilatéral.
Quels sont les différents types de polyèdres ?
La classification peut être faite en fonction du nombre de faces, d'arêtes et de sommets et de leurs relations mutuelles.
Selon les caractéristiques, les types suivants peuvent être différenciés :
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Un polyèdre convexe est un corps géométrique dont la surface ne peut être coupée que par une droite en deux points.
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Dans un polyèdre concave, une ligne droite peut couper ses faces en plus de deux points, elle a donc un angle dièdre rentrant.
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Un polyèdre régulier est un solide dont les faces sont des polygones réguliers congruents, et le nombre de faces qui se rencontrent à chaque sommet est le même.
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Un polyèdre irrégulier a des faces ou des angles inégaux. Parmi eux se trouvent les solides d'Archimède, les prismes et les antiprismes.
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Avec des faces uniformes : sont polyèdres dont les faces sont identiques.
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Avec des arêtes uniformes : toutes ses arêtes rencontrent la même paire de faces du polyèdre.
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Avec sommet uniforme : tous les sommets rencontrent le même nombre de faces et dans le même ordre.
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Un polyèdre noble est caractérisé par le fait qu'il est isoédrique (ayant toutes les faces égales) et isogonal (tous les sommets égaux).
Les solides de Platon, réguliers ou parfaits, sont des polyèdres convexes tels que toutes leurs faces sont des polygones réguliers égaux entre eux, et dans lesquels tous les angles solides sont égaux.
Exemples de polyèdres
Voici quelques exemples dans lesquels ces figures 3D apparaissent dans notre vie quotidienne :
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Pyramides. Composé d'un socle et de diverses faces triangulaires à l'image des pyramides d'Egypte. Tous les sommets de la base sont connectés au même point d'intersection.
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Cubes. Ces formes sont composées de six faces carrées identiques. Cette forme géométrique apparaît sur les dés à six faces polygonales d'un jeu de société.
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Éléments structuraux tels que poutres à base carrée. Cet élément est un parallélépipède puisque c'est une forme solide formée de deux carrés réguliers et de quatre rectangles égaux.
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Un tétraèdre ou pyramide triangulaire est un polyèdre à quatre faces , six arêtes et quatre sommets . Les faces d'un tétraèdre sont des triangles et trois faces se rejoignent à chaque sommet. Si les quatre faces du tétraèdre sont des triangles équilatéraux , égaux entre eux, il s’agit d’un tétraèdre régulier.
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Les ballons de football sont fabriqués en joignant 12 pentagones et 20 hexagones. C’est á dire, c’est un dodécaèdre régulier. Leurs faces doivent être des polygones à onze côtés ou moins.
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Les abeilles construisent leurs nids d'abeilles en forme de prismes hexagonaux.
