La sphère, corps géométrique courbe sans arêtes ni sommets, se distingue par l'uniformité des distances entre tous ses points et le centre. Selon sa définition, cette forme tridimensionnelle est générée en effectuant une rotation complète d'un cercle autour de son diamètre, créant ainsi une surface de révolution.
Une propriété notable de la sphère est qu'elle possède la plus petite surface de toutes les formes renfermant un volume spécifique. Cette caractéristique, associée à sa symétrie et à sa perfection géométrique, fait de la sphère une figure fondamentale et efficace de la géométrie tridimensionnelle.
Qu'est-ce qu'une sphère ?
Une sphère est une figure géométrique tridimensionnelle parfaitement symétrique et fermée, dont la surface est constituée de tous les points équidistants de son centre. Caractérisée par son absence totale d’arêtes et de sommets, la sphère présente une symétrie quelle que soit la perspective.
Les sphères sont présentes dans la nature et leurs propriétés sont appliquées dans divers domaines scientifiques.
Caractéristiques et propriétés
- Symétrie : Les sphères présentent une symétrie parfaite à tout point de vue. Tout plan passant par son centre divise la sphère en deux moitiés égales.
- Surface courbe : La surface d'une sphère est une courbe continue sans arêtes ni sommets. Tous les points de la surface sont équidistants du centre.
- Centre : Chaque sphère a un point central à partir duquel toutes les distances jusqu'à la surface sont égales.
- Absence d'arêtes et de sommets : contrairement aux polyèdres et autres corps géométriques, les sphères manquent d'arêtes et de sommets, ce qui contribue à leur simplicité et à leur uniformité.
Composants essentiels d'une sphère
Les éléments suivants définissent la sphère, depuis son point central jusqu'aux lignes et circonférences qui caractérisent sa forme tridimensionnelle unique :
- Centre : Le point fixe de la sphère à égale distance de tous les points de sa surface courbe. Ce centre est situé à la même distance de tout point de la surface.
- Axe : Une ligne infinie qui passe par le centre de la sphère, fournissant une référence directionnelle au corps géométrique.
- Rayon : La distance entre le centre de la sphère et n'importe quel point de sa surface, définissant l'étendue radiale du solide tridimensionnel.
- Diamètre : La longueur de la droite reliant deux points de la surface, passant par le centre. Sa valeur est le double du rayon, représentant l'extension maximale de la sphère.
- Parallèles : Cercles formés en coupant le solide avec un plan perpendiculaire à l'axe, créant des sections circulaires.
- Méridiens : Circonférences résultant de la section de la sphère par un plan qui contient l'axe, offrant des sections circulaires avec une orientation spécifique.
- Equateur : Le parallèle dont le centre coïncide avec le centre de la sphère, mettant en évidence un point particulier de sa structure.
Calcul de superficie
Pour calculer la surface d'une sphère, la formule mathématique suivante est utilisée :
A = 4·π·r²
Où
-
A est la valeur de la surface de la sphère. Les unités de superficie dans les mesures SI sont les mètres carrés.
-
r est le rayon exprimé en mètres.
formule de volume
Pour calculer le volume en fonction du rayon de la sphère, nous pouvons utiliser la formule suivante :
V = (4·π·r³)/3
Où
-
V est le volume exprimé en mètres cubes.
-
r est la valeur du rayon exprimée en mètres.
Le volume de la sphère est égal aux 2/3 du volume du cylindre circonscrit sur la figure.
Équation de la sphère
L'équation générale d'une sphère dans un système de coordonnées tridimensionnelles s'exprime comme suit :
(x−h)²+(y−k)²+(z−l)²=r²
Où:
-
(h,k,l) sont les coordonnées du centre de la sphère.
-
r est le rayon de la sphère.
Cette équation reflète l'idée que chaque point (x,y,z) de la surface de la sphère remplit la condition selon laquelle la somme des carrés des différences entre ses coordonnées et celles du centre est égale au carré du rayon.
Lorsque le centre de la sphère est à l'origine du système de coordonnées (0,0,0), l'équation se simplifie comme suit :
x²+y²+z²=r²
Cette forme d'équation définit une sphère centrée à l'origine de rayon r. Dans les deux cas, l’équation de la sphère est fondamentale pour la représentation et la compréhension de la géométrie tridimensionnelle.
Coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques sont un système de coordonnées tridimensionnelles utilisé pour spécifier la position d'un point dans l'espace en utilisant deux angles et une distance radiale à partir d'une origine commune.
Ce système est particulièrement utile lorsque vous travaillez sur des problèmes de symétrie sphérique, comme en physique, en astronomie ou en ingénierie.
En coordonnées sphériques, un point P est défini par trois composantes :
-
Rayon (r) : La distance de l'origine au point P. C'est un nombre réel non négatif.
-
Colatitude (θ) : L'angle mesuré entre l'axe z positif et le segment de droite reliant l'origine au point P. Il varie de 0∘ à 180.
-
Longueur (ϕ) : L'angle mesuré entre l'axe x positif dans le plan xy et le plan contenant le point P. Il varie de 0∘ à 360∘.
Les formules de conversion entre coordonnées cartésiennes (x,y,z) et coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) sont :
x = r · sinθ · cosϕ
y = r · sinθ · sinϕ
z = r · cosθ
Ces coordonnées sont particulièrement utiles pour décrire des phénomènes présentant une symétrie sphérique, tels que le rayonnement électromagnétique d'une antenne, la diffusion de particules en physique des particules ou la position d'objets célestes en astronomie.